VOL.314１問全力解析　2024年度　栄東中学校（東大特待）

今回の１問全力解析は２０２４年栄東（東大特待Ⅰ（１月１２日））４です。
まずは問題を見てください。

基本テーマ
①「知っている」の範囲の確認
②普段からなぜそうなるのかを意識する
③知らない時は誘導に乗る
④素因数分解の利用
⑤素数に反応する

この問題では以上のような基本テーマが潜んでいると考えられます。ひとつずつ見ていきます。

①実は私のブログでは当たり前のように（２）までは扱っています。ＶＯＬ．７５、ＶＯＬ．１９７
知っていれば実質（３）だけの問題になります。

②授業ではなぜこの式でＮ番目までの三角数の総和が求めれられるのかを扱っています。教材に載っていることは少ないですが、考え方が面白いので説明することが多いです。普段からなぜそうなるのかを考えていると良いことがあるかもしれません。

③（１）は常識ですが、（２）に関しては、受験生の多くはこの考え方を知らなかったと思います。その場合は問題文を丁寧に読み、出題者の狙いを汲み取らなければなりません。素直に読めば当たり前のことなので、正解できたのではないでしょうか。

④（３）も難しくないのですが、方針を誤ると苦労したかもしれません。仮に結果として皆が正解する問題だった場合、かけた時間で差がつく可能性があったので、なるべくスンナリ正解したかったところです。
素因数分解を上手く使えれば意外なほどあっさりと解決したことでしょう。

⑤あっさりと解決するためには「１１」と「２３」という素数に着目する必要があったでしょう。「７」が無いことから、連続する３数がすぐに見つかります。

以上を踏まえて問題を解いてみましょう。

〈解説〉

（１）同じものを用意して逆さにして足すやり方は天才数学者ガウスが子供の頃思いついた解法として有名ですね。筆算がわかりやすいです。

１＋１０に１０を掛けたものの半分なのでアは１０…（答）です。

〈別解〉
等差数列の和の公式（１番目からＮ番目までの総和）は
（初項＋第Ｎ項）×Ｎ÷２です。
１番目が「１」でＮと第Ｎ項が「１０」ですから

  （１＋１０）×１０  ２  

となります。

よってアは１０…（答）

続いて

１＋５＋１＝７
１＋４＋２＝７
２＋４＋１＝７
…
全て７になっています。よってイは７…（答）

（２）三角形に書かれている数字の数は１～１０までの和なので

  （１＋１０）×１０  ２  ＝５５です。また、３枚重ねたときの１か所の数字の合計は

１＋１＋１０＝１２…（答）ウ

１枚に書かれた数字の合計を求めたいので

５５×１２×  １  ３  ＝２２０…（答）エ

いままでの話から１番目からＮ番目の三角数までの総和は
  ｛Ｎ×（Ｎ＋１）×（Ｎ＋２）｝  ６  

とあらわすことができます。それが２０２４になるようなＮを求めればよいわけです。
連続する３数の積が２０２４×６なっているということなので、２０２４を素因数分解します。

２０２４＝２×２×２×１１×２３
よって、

２０２４×６＝２２×２３×２４と分かります。

以上より（答）２２

いかがでしたでしょうか。知っている受験生にとっては「待ってました」の問題だったと思います。初見の受験生にとっても会話が丁寧だったので、正解は難しくなかったでしょう。

このレベルの内容をしっかり消化して自分のものにしていけば、ライバルに差をつけることができるでしょう。