VOL.342〈分野別〉知識の確認２　― 規則性 ―

前回から始まったこのシリーズ，今回は規則性をやります。

規則性は正解することが特に重要な分野なので，「知識」の重要性も高いと考えています。そのあたりのことも考慮して今回も３つの題材を選びました。

それではスタートしましょう！

「初級」
◎等差数列のN番目の項は【 公差×N±□ 】であらわすことができる。

〈例題〉
初項が３，公差が13の等差数列があります。この数列の20番目の項を求めてください。

〈解説〉
この数列の第N項は
13×N－10
で求められるので
13×20－10＝250…(答)

※公式は
第n項＝初項＋公差×(N－１)
です。これを使うと

　３＋13×(20－１)
＝３＋13×19
＝３＋247
＝250

とやる流れになり，若干損しているというか，ミスの可能性が上がっているように思います。

「中級」
◎N番目の三角数 と (N＋１)番目の三角数 の和は，(N＋１)番目の平方数 になる。

〈例題〉
１番目から100番目までの三角数100個を全て足してものを２倍した数をAとします。また１番目から100番目までの平方数を全て足した数をBとします。AとBではどちらがいくつ大きいですか。

〈解説〉
１番目から100番目までの三角数に１番目から99番目までの三角数を加えると，１番目から100番目までの平方数になるので，Aの方が100番目の三角数の分だけ大きいことになります。
よって
(1＋100)×100÷2＝5050
より
Aのほうが5050大きい…(答)　

筆算であらわすと以下になります。
　　　1＋3＋6＋10＋…＋5050
 ＋　　　 1＋3＋ 6＋…＋4950　　
　　　1＋4＋9＋16＋…＋10000

※なぜそうなるのかは明らかだと思います。

例　
白が３番目，黒が４番目の三角数。和は４番目の平方数。

「上級」
◎前の結果を利用するタイプの場合，表に整理すると良い。

〈解説〉
円盤を小さいほうからＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅとします。Ｅを右端に動かす際は中央の棒に上からＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの順に４枚なければなりません。そこまでは４枚を違う場所に持っていくだけの手順が必要です。そして，Ｅを右端に動かした後も４枚を違う場所に持っていく手順が必要ですから，Ｎ枚を違う場所に動かすために必要な最小の手順は「N枚より1枚少ないときの手順の２倍より１大きい」ので
〈Ｎ－1〉×2＋1　（〈N〉はＮ枚を違う場所に動かすために必要な最小の手順）
となります。
これを表にまとめると

表より
31回…(答)

〇表にまとめると良いものをいくつか挙げておきます。

【フィボナッチ数】

【トリボナッチ数】

【ペル数】

※それぞれどのような規則性なのかは各自で考えてみてくださいね。

いかがでしたでしょうか。
上手く知識を活用できれば，考える時間や計算量を減らすことができます。皆さんが「時短」と「ミスとの決別」を実現し，規則性を得意分野にすることを期待しています。