VOL.343〈分野別〉知識の確認３　― 場合の数 ―

2024/09/06

今回は「場合の数」についてやっていきます。この分野については知識で片付けようとする姿勢はマイナスになる恐れもあるのですが，きちんと身に着ければ武器になるので，踏み込んでいきたいと思います。

「初級」
◎残りが自動的に決まる場合は無視できる

〈例題〉
500円玉，100円玉，50円玉が十分にあるとき，1000円の払い方は何通りありますか。

〈解説〉
500円玉で場合分けして，50円玉は無視します。

ⅰ）500円玉×2　⇒１通り

ⅱ）500円玉×1　→100円玉…0枚から５枚なので　⇒６通り

ⅲ）500円玉×0　→100円玉…0枚から10枚なので　⇒11通り

1＋6＋11＝18（通り）…（答）

※表にまとめて解く受験生が多いでしょうが50円玉の枚数を書いたとしてもほぼ無意味なので，上記のやり方がおすすめです。

「中級」
◎分けるときは仕切りを利用する

〈例題〉
７個の大福をA，B，C，Dの４人に分けようと思います。全員が最低でも１個もらうとき何通りの分け方がありますか。また，もらわない人がいても良いとすると，何通りの分け方がありますか。

〈解説〉
仕切りを入れる考え方を使います。７個の間の６か所のうち３か所を選び仕切りを入れると４つに分かれますから，順にA，B，C，Dと分けることで対応が完了します。
例
○￤○￤○￤○￤○￤○￤○ ⇒ ○｜○ ○｜○｜○ ○ ○（ A１個，B２個，C１個，D３個）

６個の中から３個を選ぶ組み合わせなので

６×５×４３×２×１＝20（通り）　…（答）

また，０でもよい場合は大福７個と仕切り３個の並べ方に対応します。
例
○ ○ ○ ○ ○ ○｜｜｜ ⇒ ○｜｜○ ○ ○｜○ ○ ○ （A1個，B0個，C3個，D３個）

10個の中から３個を選ぶ組み合わせなので

１０×９×８３×２×１＝120(通り)　…（答）

※一応一般化しておきます。
A個をP人に分ける
・全員最低１個 ⇒（A－1）個の中から（P－1）個を選ぶ組み合わせ
・０個がいても良い ⇒（A＋P－1）個の中から（P－1）個を選ぶ組み合わせ

「上級」
◎かく乱順列は前の結果を利用する

〈例題〉
A，B，C，D，E，F，Gの７人が１通ずつメールを送った結果，全員が１通ずつメールを受け取りました。このようなメールの送り方は何通りありますか。

〈解説〉
いきなり７人だとハードルが高いので，少ない人数から順に考えていきたいと思います。
・２人⇒１通り
・３人→A，B，Cの３人で考えると「AがBから受け取った」とすると『BはCから，CはAから』と決まります。AがCから受け取った時も同様なので⇒２通り
・4人→A，B，C，Dの４人で考えます。「AがB，BがAから受け取った」とすると，残りは『２人のときと同じ』になるので１通り。「AがBから受け取り，BがAから受け取らなかった」とすると『３人のときと同じ』になるので２通り。よってAがBから受け取ったときは1+2＝3の３通り。
他にCからとDから受け取るケースもあるので全部で
3×3＝9（通り）
・５人→４人のときと同様に考えると
(2＋9)×(5－1)＝44（通り）
・６人
(9＋44)×(6－1)＝265（通り）
・７人
(44+265)×(7－1)＝1854（通り）…（答）

※N人の場合
(前の前の結果+前の結果)×(N－１)
これで計算できることがわかりました。