VOL.238数学から考える受験算数（４）ピタゴラスの定理

数学には「定理」というものがあります。
「定理」とは証明されている命題のことです。
ここでは命題とは何かといったことは省きますが、数学を学ぶ上では言葉の意味の理解は重要です。

図形においてとても役立つ「定理」の１つに「ピタゴラスの定理」があります。
多分最も有名な「定理」で小学生も多数が知っていると思います。
今回はこの「ピタゴラスの定理」がテーマです。

「ピタゴラスの定理」は「三平方の定理」とも呼ばれます。
「直角三角形において、斜辺の２乗は他の２辺をそれぞれ２乗したものの和に等しい」という比較的シンプルな内容ですね。
この定理は多数の証明が知られており、数百通りもあると言われています。
頑張れば何とかなりそうではあるのでチャレンジしてみるのもよいでしょう。

さて、直角三角形は３辺のうち２辺の長さがわかれば残りの１辺の長さをこの定理を使って求めることができるわけです。
では中学受験で３つめの辺の長さを求められることが有利に働くかというと、かなり限定的な気がします。小学生は扱える数字が正の有理数なので、以下で述べる整数の比になるようなケースしか長さを求めることができません。
ルートを学べば対応可能ですが、そこまではやらないことを前提に話を進めます。

「ピタゴラスの定理」を満たすような自然数の組を「ピタゴラス数」と呼びます。
中学受験でよくでてくるのが（３，４，５）で、次いで（５，１２，１３）、（８，１５，１７）、（７，２４，２５）まで位なら見かけることがあります。
個人的にはここまでは頭に入れておくと良いとは思います。

他で見たことがあるのは（２０，２１，２９）ですが、覚える必要はないと思います。
ピタゴラスの定理を知っていれば有利になる問題をひとつやってみましょう。

【例題１】
縦４ｃｍ横１０ｃｍの長方形が内接している円の面積を求めてください。
※以後円周率は３．１４とします。

【解説】
底辺が１０ｃｍ、高さが４ｃｍの直角三角形の斜辺がこの円の直径にあたります。
ということは５ｃｍ、２ｃｍの直角三角形の斜辺がこの円の半径となります。
半径×半径＝５×５+２×２＝２９
２９×３．１４＝９１．０６（ｃｍ^２）…（答）

このように「ピタゴラスの定理」が使えれば明らかに得になります。
ただ、正方形の内部に斜めに内接する正方形を描けば解けるので、「絶対に覚えるべし」とまではいかないでしょう。

【例題２】
〈図１〉の四角形ＡＢＣＤはＡＤ平行//ＢＣの台形です。台形ＡＢＣＤをＤＣを軸として１回転してできた立体の体積が１９１５４ｃｍ^３でした。
ＡＤ＝２０ｃｍ
ＢＣ＝２５ｃｍ
のとき、この立体の表面積を求めてください。

【解説】
ⅰ）一般的な解き方

〈図１〉

〈図１〉のＡＢとＤＣを延長し、その交差点をＥとします。

〈図２〉

〈図２〉の直角三角形ＥＢＣをＥＣを軸として回転させたときの上部と下部（ＡＤを含む底面と平行な面で分ける）の体積比は

４×４×４：５×５×５－４×４×４
＝６４：６１

よって三角形ＥＡＤをＥＤを軸として回転してできる円すいの体積は

１９１５４×  ６４  ６１  ＝３．１４×６４００（ｃｍ^３）

よってＥＤの長さは

３．１４×６４００×３÷（２０×２０×３．１４）＝４８（ｃｍ）

〈図３〉　　　　　　　　　　　　　　　　　
正方形

〈図３〉より

ＥＡ×ＥＡ＝６８×６８－４８×２０×２
＝２７０４
＝５２×５２

なので

ＥＡ＝５２（ｃｍ）
ＥＣ＝４８×  ５  ４  ＝６０（ｃｍ）
ＥＢ＝５２×  ５  ４  ＝６５（ｃｍ）

以上より表面積は

６５×２５×３．１４－５２×２０×３．１４＋２０×２０×３．１４＋２５×２５×３．１４
＝１６１０×３．１４
＝５０５５．４（ｃｍ^２）・・・（答）

ii）ピタゴラスの定理を利用
上でＥＤ＝４８（ｃｍ）が求まったところでＤＣを求めます。

ＤＣ＝４８×  １  ４  ＝１２（ｃｍ）

ここでＡからＢＣに垂線を下ろし、その交点をＦとします。

〈図４〉

△ＡＢＦは直角三角形で

ＡＦ＝１２（ｃｍ）
ＢＦ＝２５－２０
　　＝５（ｃｍ）

なので、５:１２:１３より

ＡＢ＝１３（ｃｍ）

側面積をセンターラインを使って求めると

（２０＋２５）×３．１４×１３＝５８５×３．１４（ｃｍ^２）

ふたと底を足して

（２０×２０＋２５×２５＋５８５）×３．１４
＝１６１０×３．１４
＝５０５５．４（ｃｍ^２）・・・（答）

かなり労力が省けたと思います。
下手をすると．「ＢＦが５ｃｍなんだからＡＢは１３ｃｍの可能性が高い」というカンが働けばいきなり最後の式を立てることも可能です。

最後に小学生特有の問題についてお話しします。
「ピタゴラスの定理」からも明らかなように三角形の３辺のうちの２辺が自然数でも残りの１辺は自然数とはかぎりません。ほとんどが根号がついた数字になります。

であるならば、小学生時代は長さが「不明」ということが多いのですね。
当然、近似値で与えられることはありますが、正確な数字は習うことがありません。

しかしながら、その「不明」な数字を求めようとして迷路に迷い込む受験生が多々います。
具体的には
・正三角形の１辺がわかっているときの高さは「不明」
・正方形の１辺がわかっているときの対角線は「不明」
の２つが代表例です。逆もいえることは直感的にわかると思います。

ですから、これらを何とかして求めるようなことはしないようにしましょう。
他の方法で解けるようになっていますよ。

最後にまとめます。

今回は結論が割とはっきりしていたと思います。
有利になりそうなところまでやっておけば良いのです。

※根号をどうするかについては改めて検討してみたいと思います。
また、中学入試で直角三角形がテーマの問題は頻出です。
今回の「ピタゴラスの定理」はその証明が問題として取り上げられることもあるので、今週の１題で練習してみてください。