VOL.318１問全力解析　2024年度　渋谷教育学園幕張中学校

今回の１問全力解析は２０２４年渋谷教育学園幕張一次４です。
まずは問題を見てください。

基本テーマ
①円周角の定理
②補助線
③相似の発見
④相似→連比
⑤面積比の計算

この問題では以上のような基本テーマが潜んでいると考えられます。ひとつずつ見ていきます。

①円周角の定理
明らかに中学の範囲ですが、普通に出題されています。これは今後も変わらないと思います。本ブログではお馴染みのテーマですね。

「知っている」で片づけることが出来れば明らかに得です。

②補助線
補助線を引かなければ解けないと思われる問題は以前私が調査したところ、およそ３分の１でした。むやみやたらに補助線を引くことは好ましくありませんが、本問ではピッタリの補助線がありました。
ただし、最低でも２本引く必要があり、図形が苦手な受験生には厳しかったかもしれません。

③相似の発見
（１）では底角の１つを共有している二等辺三角形の相似とピラミッド型の相似、（２）では砂時計型の相似を２組利用して解きます。
二等辺三角形の相似を見抜けないと全く前に進めないので、そこで差がついた可能性があると思います。

④相似→連比
よくある形です。本校の合格レベルに到達していた受験生にとっては一目だったことでしょう。
このタイプの連比は頻出ですから、本校の志望者以外も練習に使ってみると良いと思います。

⑤面積比の計算
本校の特徴でもありますが、解法が分かっている問題は計算が煩雑になることが多いです。
途中はなるべく整数でいくように心がけ、少しでも計算の煩雑さが軽減できるように工夫しましょう。
分母が少し大きい分数になりますが、自信を持って回答欄に答を書き込めるよう、日頃から鍛錬しておきましょう。

以上を踏まえて問題を解いてみます。

（１）ＡとＥ、ＣとＤを結びます（〈図１〉）。
〈図１〉

まず押さえておきたいのは△ＡＣＤは二等辺三角形であるということです。対称性があるので当然という感覚でよいでしょう。
△ＡＣＤ≡△ＣＥＡも同様です。
また、円周角の定理より∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＦ、∠ＣＡＥと∠ＥＡＦは共有なので
△ＣＡＥ∽△ＥＡＦ
です。
またピラミッド型になっているので（対称性からＦＧ//ＣＤであることは明白）△ＡＦＧと△ＡＣＤも相似です。
△ＡＥＦは二等辺三角形なのでＡＥ＝２ｃｍ＝ＣＤ
△ＡＣＤと△ＡＦＧの相似比は４：１なので
ＦＧ＝２×  １  ４   ＝０．５ （ｃｍ）…（答）

（２）〈図１〉で２つの砂時計型の相似が見えれば、その連比で解決です。
△ＩＢＥ∽△ＩＤＣ→相似比は２×２－０．５：２＝７：４
△ＨＧＥ∽△ＨＤＣ→相似比は２－０．５：２＝３：４
ＥＣを７７とおけば
ＥＨ＝３３，ＨＩ＝４４－２８＝１６、ＩＣ＝２８
なので
ＨＩ：ＩＣ＝１６：２８
＝４：７…（答）

（３）△ＡＦＧの面積を１とすると△ＦＣＥの面積は３×４＝１２となります。
△ＥＧＨは
１２×  ３  ４  ×  ３  ７  ＝３  ６  ７  

△ＣＩＪは
１２×  ４  １１  ×  ４  ７  ＝２  ３８  ７７  

五角形ＦＧＨＩＪは
１２－（３  ６  ７  ＋２  ３８  ７７  ）＝５  ５０  ７７  となり、これがこのまま答です。

（答） ５  ５０  ７７  倍

いかがでしたでしょうか。
全く手をつけることができなかった受験生もいたかもしれませんが、相似（合同）と比を上手く利用できれば、攻略も可能だったことでしょう。

対称性を考慮すれば結論が明白な部分もあったので、それも利用したかったところです。
もはや、円周角の定理は常識なのか、と思わせるような問題でした。
当ブログの読者にとってはお馴染みだったので、良いことがあったかもしれません。