VOL.296１問全力解析　武蔵中学校

今回の１問全力解析は２０２３年武蔵１（２）です。
本校は手書きの出題が有名です。
いつもとても綺麗な字、図等に感心しています。
内容も素晴らしく、解くのが楽しみな学校のひとつです。

それでは問題を見てください。

この問題では以上のような基本テーマが潜んでいると考えられます。
ひとつずつ見ていきます。

①何を求めれば良いかの把握
６人を３つの２人部屋に割り振るのですが、そこに制約が加わるという問題です。

押さえておかなければいけないのは
・６人はすべて区別する
・３つの２人部屋には名前がついている
・兄弟は同じ部屋に泊まることはできない
・２組の３人兄弟と３組の２人兄弟の結論の違いがテーマ
このことを念頭に置いて解き進めていきます。

②順列
２組の３人兄弟の場合は考えやすいと思います。
２組の兄弟をＡ兄弟とＢ兄弟とします。
まずＡ兄弟の振り分け方が何通りあるか考えてみます。

ⅰ）まず松に泊まる者を決め、次に竹に泊まる者を決め、最後に梅に泊まる者を決める。
ⅱ）まず長男がどこに泊まるかを決め、次に次男がどこに泊まるかを決め、最後に三男がどこに泊まるかを決める。
どちらも順列の計算式で求めることができますね。
それはまたＢ兄弟も同じです。

③積の法則
②でＡ兄弟とＢ兄弟がそれぞれ何通りの割り振り方があるか求めることができました。
そしてそれはＡ兄弟の割り振り方各々にＢ兄弟の割り振り方があるので「積の法則」を使えば解決するということがわかります。
ここまでで１つめの□が攻略できました。

④見る方向を変える
今度は３組の２人兄弟です。
ここでＡ兄弟、Ｂ兄弟、Ｃ兄弟とし、Ａ兄弟から決めるというやり方だとすんなりいかない気がします。
失敗例を挙げます。
Ａ兄弟の割り振り方が６通り、Ｂ兄弟、Ｃ兄弟も同様なので、積の法則より
６×６×６＝２１６（通り）…×
上の解き方では２人部屋という条件が落ちてしまっています。
そこで見方を変えて松に入る２つの兄弟を決めます。
具体的には
（Ａ，Ｂ）、（Ｂ，Ｃ）、（Ｃ，Ａ）
の３通りです。
その後は竹と梅に松に入らなかった兄弟が割り振られるので、全体の数はそんなに大きくならないことがわかると思います。

⑤まず枠をつくってあげる
上の④までで、各兄弟がどの部屋とどの部屋に泊まるかの枠ができました。
後はそれぞれの兄弟がどちらの部屋に泊まるかの選択だけになりましたね。
コインを３回投げた時の裏表の出方と同じです。

以上を踏まえて問題を解いてみましょう。

〈解説〉
Ａ兄弟の部屋の割り振り方は
３×２×１＝６（通り）
Ｂ兄弟も同様に６通りです。
積の法則より
６×６＝３６（通り）…（答）

松に入る２つの兄弟の決め方は。
（Ａ，Ｂ）、（Ｂ，Ｃ）、（Ｃ，Ａ）
の３通りです。
竹と梅には松に入らなかった兄弟は自動的に入ります。
例えば松にＡ兄弟とＢ兄弟が入った場合、Ｃ兄弟は竹と梅に入ります。

竹と梅の残りの１枠ずつの決め方は
（Ａ，Ｂ）か（Ｂ，Ａ）の２通りになるので、結局部屋に対する兄弟の枠の決め方は
３×２＝６（通り）
となります。
それぞれの兄弟がどちらの部屋に泊まるかの選択は２通りずつなので、後ろの□に入るのは
６×２×２×２＝４８（通り）…（答）

〈別解〉
松に入る２人の組み合わせは
６×４÷（２×１）＝１２（通り）
松に入らなかった兄弟の竹と梅の割り振り方は２通り、残りの２人の割り振り方は２通りなので、積の法則より

１２×２×２＝４８（通り）…（答）
いかがでしたでしょうか。
場合の数の基本が詰まっていた良質な問題だったと思います。
こういった問題を解く際は初見がたいせつです。

勘違い等を絶対にしないという強い気持ちを持って気合を入れて解いてください。
そして正解することによって、実力が上がっていきます。
一つ一つの小さなチャレンジが大きな成果につながります。
地道に頑張っていきましょう。