VOL.291１問全力解析　2023灘中学校

今回の１問全力解析は２０２３年灘１日目５です。
まずは問題を見てください。

この問題では以上のような基本テーマが潜んでいると考えられます。
ひとつずつ見ていきます。

①組み合わせ
殆どの受験生が「組み合わせ」の公式を使いたいと考えたことでしょう。
２個ずつのグループＡ、Ｂ、Ｃに分けるというのは「順列」ではなく「組み合わせ」です。

「順列」か「組み合わせ」かの判断は具体的に考えれば良いでしょう。
Ａに１と２を選んだとして、（１，２）と（２，１）を区別する必要があれば「順列」、なければ「組み合わせ」です。
本問の場合は後者の「組み合わせ」です。

②積の法則
「和の法則」と「積の法則」の使いどころを間違える受験生がいますが、絶対に間違
えてはいけません。
場合分けしたときは最後にまとめて「和の法則」、樹形図のようにおのおのにつき何
通りというような場合は「積の法則」というようにイメージしておけば大丈夫でしょ
う。
本問の場合はまずＡを決め、そのおのおのにつきＢを決めれば全体が決まるので「積
の法則」を使うことになります。

③２つに１つ
よくある「余事象」を使う問題は、全体からダメなものを引くのですが本問の場合はどうでしょうか。
ＡとＢは２つずつ数字が割り振られているのですが、特に制約がないので「平等」であることは明白です。
大きなもの同士を比べてＡのほうが大きいのは２つに１つであることは特に調べることなく分かると思います。
本問の場合は「２つに１つ」という割合的な考え方で良いでしょう。

④２個と２個と２個に分ける
ここから有力な別解について考えてみます。
「２個と２個と２個に分ける」というのがあまり使われませんが有力だと思います。
上との違いはＡ、Ｂ、Ｃに割り振っていないということです。
ですから「組み合わせ」と
「積の法則」で「Ａ２個、Ｂ２個、Ｃ２個に分ける組み合わせ」を求めたら、それを
「Ａ、Ｂ、Ｃの並べ方」で割れば求められることになります。
（式）  ６×５  ２×１  ×  ４×３  ２×１  ÷（３×２×１）＝１５（通り）
実は上手い別解があります。
主役を決めるというやり方で、今度は数字に着目します。

「１」が主役で、その相手の決め方が５通り、さらに残りの４数のうちのひとつが次の主役で、その相手の決め方が３通り、ここまで決めれば「２個と２個と２個に分ける」ことが完成します。
（式）５×３＝１５（通り）

⑤１つだけ決める
「２個と２個と２個に分ける」状態ができた後どうすればよいでしょうか。
Ｃは３つのうちのどれでも良いのですが、ＡとＢは４数のうちの１番大きな数がある方がＡと、必然的に決まります。
結局④で求めた数字に３を掛ければ良いことになります。

以上を踏まえて問題を解いてみましょう。

〈解説〉
「Ａ２個、Ｂ２個、Ｃ２個に分ける組み合わせ」は
  ６×５  ２×１  ×  ４×３  ２×１  ＝９０（通り）
このうち条件を満たすのは２つのうちの１つなので
９０÷２＝４５（通り）…（答）

〈別解〉
「２個と２個と２個に分ける」分け方は
５×３＝１５（通り）
３つのうちの１つをＣに決めればＡとＢは必然的に決まるので
１５×３＝４５（通り）…（答）

いかがでしたでしょうか。
拍子抜けするぐらい易しかったと思います。
実際合格レベルの受験生はほぼ正解したことと思います。

ただ、「場合の数」ではこのレベルの問題を確実に正解できるようにすることが大切です。
ちょうど今の時期は特にそうで、そういった意味で今回は本問を取り上げました。
また、別解をとりあげましたが、この２つの違いがハッキリとわかるかどうかもチェックしてみてください。

よくわからなければ、基本からの理解の積み上げが必要でしょう。

場合の数は厄介な分野ですが、このようにスッキリと求めることができる問題はむしろ得点源としたいですね。