VOL.288１問全力解析　2023栄光学園

今回の１問全力解析は２０２３年栄光学園２．です。
まずは問題を見てください。

この問題では以上のような基本テーマが潜んでいると考えられます。
ひとつずつ見ていきます。

①立方体の積木の切断
立方体の積木と立体の切断という２つのテーマの融合です。
基本的に２つ以上のテーマが含まれる問題は難しくなりますから、それなりの対応をしなければ苦戦は免れないでしょう。
以下は必要と思われる技術になります。

②平面で捉える
立体の問題は平面で捉えなければ対応が難しいと思います。
平面で捉えるためには、方向を定めなければなりません。
この問題の場合は最終的には３つの平面で切断することになるのですが、最初に切った平面が線に見える方向から見るのが良いと思います。

③輪切り方式
輪切り方式は立方体の積木では特に有効です。
この問題の場合は手前、真ん中、奥の３層に分けて考えるのが得策でしょう。
それぞれの層を作図するのか、作図の量を減らすため１つの層を流用するのかは受験生自身の習熟度によります。
解説では作図は１つだけにして、後はイメージで解決することにします。

④前の答の利用
切断面が１つ増えるごとに、切断されて細かくなる立体も増えます。
よって、新たな面で切断されるたびに、どれだけ立体が増えるかを考えれば良いわけです。
まずは、新たな切断により増える数を考えることにします。

⑤確かめ
前に比べてどれだけ増えるかを考えて答を出したので、確かめは素の状態から数えるようにしましょう。
（３）（イ）の確かめで数値が一致すれば全問正解と見て差支えないでしょう。

以上を踏まえて問題を解いてみましょう。

（１）まずはＡ、Ｂ、Ｇを通る平面で切った状態を、ＡとＢ、ＧとＨが重なる方向から見た平面図を描きます。

〈図１〉

（ア）対角線によって切られた正方形の数は１０個です。
切られていないのは
３×８－１０＝１４（個）
です。これが３層になっているので
１４×３＝４２（個）…（答）

（イ）切られると体積は１ｃｍ^３未満になります。
１回の切断で立方体は２個に分かれますから
１０×２×３＝６０（個）…（答）

（２）〈図１〉を上から１段目、２段目、３段目と呼ぶことにします。
また、手前、真ん中、奥の３層になっている、という見方をします。

Ａ、Ｄ、Ｆを通る平面で切る場合切られるのは
１段目→奥
２段目→真ん中
３段目→手前

（ア）新たに切られることが無いのは
１段目→手前・真ん中
２段目→手前・奥
３段目→真ん中・奥
よって切られていないのは
（５＋４＋５）×２＝２８（個）…（答）

（イ）切られていなかった立方体が切られると１ｃｍ^３未満の立体は２個増えます。
既に切られている立方体は２個だったものが４個になるので、こちらも２個増えます。
よって
６０＋（５＋４＋５）×２＋（３＋４＋３）×２＝１０８（個）…（答）

（３）Ｂ、Ｃ、Ｅを通る平面で切る場合切られるのは
１段目→手前
２段目→真ん中
３段目→奥

（ア）新たに切られることが無いのは
１段目→真ん中
２段目→手前・奥
３段目→真ん中
よって切られていないのは
５＋４×２＋５＝１８（個）…（答）

（イ）
◎１・３段目
切られていなかった立方体が切られると１ｃｍ^３未満の立体は２個増えます。
既に切られている立方体は２個だったものが４個になるので、こちらも２個増えます。
よって増える立体の数は
８×２×２＝３２（個）
◎２段目
２段目は既に（２）で切られているところ、さらに切られることになるので
・１面で切られていたものが２面で切られる→２個増える…４個有り
・２面で切られていたものが３面で切られる→４個から７個、３個増える…４個有り

よって増える立体の数は

２×４＋３×４＝２０（個）
以上より求める答は

１０８＋３２＋２０＝１６０（個）…（答）

※確かめ
２個→５×４＋３×２＋４×２＝３４（個）
４個→３×２×２＋４＝１６（個）
７個→４個
２×３４＋４×１６＋７×４＝１６０（個）

※３面で切られると７個に分かれることについて
平面を３本の線でいくつの領域にわけるのかというのと同じです。
見取り図を描いて確かめるのも良いでしょう。

いかがでしたでしょうか。
今回は〈図１〉を最大限に活かすことを考えました。

１つの平面図を軸に立体を攻略する様子を参考にしてもらえればと思います。
やはり立体は平面的に捉えることが必須となりますね。