VOL.281１問全力解析　2023開成中学校

今回の１問全力解析は２０２３年開成中４です。
まずは問題を見てください。

この問題では以上のような基本テーマが潜んでいると考えられます。
ひとつずつ見ていきます。

①調べる
まずは２秒後はどうなるかを描き、次いで３秒後、４秒後…６秒後まではやってみるのが普通でしょう。
６秒後がＰをＲ、ＱをＰ、ＲをＱに入れ替えた（１２０°反時計回りに回転）状態であることに気付けば正解が見えてくると思います。

②どこまで調べれば良いか
①のところで書いた１２０°回転に気付けば、描くのはそこまでで良いかもしれません。
（２）には対応できますし、（３）も４秒後をうまく使えれば大丈夫でしょう。
（４）がＰとＲの出会いがどこで起こったかを調べなければいけないので少し厄介です。
まあなんとかなる範囲だと思われます。
ただ、最初と同じになる１８秒後まで調べた方がむしろ煩雑さを軽減できているかもしれません。

③別のものに置き換える→グラフ
算数の場合、別のものに置き換えることができれば、それは有力な手法である可能性が高いです。
本問の場合はグラフに置き換えることがかなり有力だと思います。
この後の解説はグラフを使ったものを採用します。

④規則性の利用
（３）以降は周期性を利用しなければ量が多すぎます。
出題者の「規則性を見つけてね」というメッセージに反応しなければなりません。
入試問題は人間が作っている限り「人と人との対話」になるのです。
相手の呼びかけに応えられることを目指しましょう。
以上を踏まえて問題を解いてみましょう。

〈解説〉
今回はグラフを描いてみます。
それぞれ１秒でお隣りの点に移動するので描きやすいと思います。

１８秒で最初の位置とその後に進む方向まで一致したので、以下はその繰り返しということがわかります。

これを利用して（４）まで解いていきましょう。
（１）
グラフの６秒後のところを見ればよいです。

…（答）

（２）
グラフより
１８秒後…（答）

（３）
１８秒で１つの周期ですから１００秒後は
１００÷１８＝５あまり１０
より、１０秒後と同じです。よって

…（答）

（４）
１８秒間で点Ｐと点Ｒの出会いは４回（４，８，１３，１７秒後）あります。
よって９９回目は
９９÷４＝２４あまり３
より、１８秒が２４回繰り返された後、３回目の出会いということが分かります。
以上より
１８×２４＋１３＝４４５（秒後）…（答）

いかがですか。
グラフさえ描いてしまえば簡単な問題だったと思います。
ただし、本番でグラフを描いた受験生は少数派だったかもしれません。
（１）の調べに引っ張られた可能性が高いです。
その場合は６秒で１２０°回転だからあと２回で元に戻ることに気付けたかどうかで差がついたと考えられます。
ただ、根性で１８回描いて正解というのも立派です。
実際の入試では何が起こるのかはわからないので、スマートな解法も泥臭い解法もどちらもいけるように準備しておくのが得策だと感じました。