VOL.277１問全力解析　2023渋谷教育学園幕張中学校

今回の１問全力解析は２０２３年渋谷教育学園幕張２です。
まずは問題を見てください。

この問題では以上のような基本テーマが潜んでいると考えられます。
ひとつずつ見ていきます。

①とりあえずやってみる
この問題の（１）はほぼ全員が続きを書くことでしょう。
そして正解するはずです。
例さえ見逃さなければ間違いは考えられません。
（２）までを視野に入れた場合はもう少し書かなければなりませんが、「さて、どこまで書けば良いのでしょう？」というのが、作者からの問い掛けという気がします。
なるべく書く量を減らすことを考えるべきでしょう。

②繰り返しが発生する
（１）の答が出るまで書くのはほぼ必然なのですが、そこから先は書いた結果として何か良いことがなければ、書く甲斐がありません。
ただし、前２つの和の１の位の数は有限ですから、周期性が生じることは明白となります。
繰り返しが発生するのであれば、１周期分書けば良いので、書く甲斐がありますね。
そのことが最初から解っていなければ書くことを躊躇してしまうかもしれないので、本問では規則性が発生することを早い段階で認識していることが大切でした。

③全部は書き出さない
（２）は１から９の全部について、周期が発生するまで書き出せば正解できることになります。
しかし、１が６０個周期なので全部書き出すと量が膨大になってしまいます。
６０個周期を円状に並べれば、どこから始めても６０個周期ですから、１５個ごとに現れる「０」の後の数字に着目すれば、「１」を書き出せば「３」「７」「９」も調べ終わったことになります。
結果的にはあとは「２」と「５」を書き出せば終了です。

④計算を利用する
全部書かないので、計算を利用する必要があります。
具体的には２０２３番目は何番目と同じなのかを計算で求める、ということです。
一般的に周期がわかっている場合は、周期で割った余りと同じなので、本問でもそれを利用します。

⑤類題との関連付け
前２つを足す数列といえば「フィボナッチ数列」ですが、本問との関連性はそれほどでもなかったですね。
似ていたのは「フィボナッチ数列を６で割った余りの数列（６のところはいくつでも良いです）」で、本問は「６」ではなく「１０」だったというわけです。
「６」で割った余りを経験していれば周期が発生することを事前に知っているので、本問もすんなり解けたものと思われます。
今後も類題が出ることは考えられるので、本問の経験を活かせるよう、しっかりと頭に入れておきましょう。

以上を踏まえて問題を解いてみましょう。

〈解説〉

（１）ルール通りに書き出します。（２）を視野に入れ、０，１が現れるまで書くことにし、後のことを考えて１段を１５個にしておきます。
〈書き出し１〉
０，１，１，２，３，５，８，３，１，４，５，９，４，３，７，
０，７，７，４，１，５，６，１，７，８，５，３，８，１，９，
０，９，９，８，７，５，２，７，９，６，５，１，６，７，３，
０，３，３，６，９，５，４，９，３，２，５，７，２，９，１，
０，１，…
２回目に０が出てきたのは１６番目なので
（答）１６

（２）ａ＝１のときの周期は〈書き出し１〉より
１５×４＝６０（個）
です。
ａ＝３，７，９のときも同様に６０個周期であることは〈書き出し１〉からわかります。
ａ＝２を書き出します。

〈書き出し２〉
０，２，２，４，６，
０，６，６，２，８，
０，８，８，６，４，
０，４，４，８，２，
０，２，…
ａ＝２，４，６，８の時の周期は
５×４＝２０（個）
です。
最後にａ＝５を書き出しておきます。

〈書き出し３〉
０，５，５，０，５，…
３個周期ですが本問では関係ないことがわかりました。

続いて（１，２０２３）を求めます。
２０２３÷６０＝３３…４３
より、〈書き出し１〉の４３番目の「６」であることがわかります。
１０－６＝４
より、（ａ，２０２３）が「４」となるようなａを求めればよいことになります。

ⅰ）ａ＝１，３，７，９のとき
４３番目が「４」なので
１５×３－４３＋１＝３
より、〈書き出し１〉が１５個で１段になっていることから、右から３番目に４が来ればよいことがわかります。
１段目の右から３番目が４なので、ａは上から３段目の左から２番目の「９」ということになります。

ⅱ）ａ＝２，４，６，８，のとき
２０２３÷２０＝１０１…３
より、左から３番目が４になっている段の左から２番目の「４」がａとして考えられます。
ⅲ）ａ＝５のとき
４は出てきません。
以上より
（答）４，９

以上見てきたように書き出せば答が出るタイプの問題でも、書き出しの量を減らすという姿勢が大切だと思います。
そのためには過去の経験を活かす必要があったでしょう。
過去問を解いたなら、その貴重な経験を本番で活かすことを絶えず考えておきましょう。