VOL.272１問全力解析　2023麻布中学校

２月に入ってから今年度の入試問題を解いています。
素晴らしい問題が多く、楽しい時間を過ごせています。
今回の「１問全力解析」は強く印象に残ったものを取り上げます。
２０２３年度麻布中６です。

この問題では以上のような基本テーマが潜んでいると考えられます。
ひとつずつ見ていきます。

①分子が１の分数の分母が２倍になると、分数自体の大きさは半分になります。
ですから、小数であらわされたものは÷２すればよいことがわかります。
問題中の表の１番上の段は、左の数の１０倍を２で割ったものの下４桁が右隣になっています。

②２を何回掛け合わせたとしてもそれを分母とする分数は有限小数となります。
平たく言えば「割り切れる」ということです。
それは
１０＝２×５
１００＝２×２×５×５…
ということから説明できます。

また、問題中の表を縦に見た時、１番上の数を２倍した数（１番上の１つ左の数の１０倍）が公差の等差数列になっていることがわかります。
ただし、下４桁までなので、ある程度のところから先は繰り返し（群数列）になります。
繰り返しは公差を何倍すると１００００の倍数になるかがわかれば判明します。

結論としては、縦に入る数字は一番上の数が決まれば、それによって１つに決まることがわかります。

③誘導に乗る
ここまで書いてきたことは、一度問題を解いてから振り返ったようなところがあるので、初めてこの問題を解くときはいきなりはわかっていないはずです。

ですから、なるべく早く上記の内容に気付いた方が良いのですが、それは小問を解きながらということになります。
（１）と（２）を書き出していく過程の中で気付きたいところです。

④規則性を見抜く
出発点は２を掛け合わせた数を分母とする分数なので、筆算で求める方向になりがちですが、数表を完成させるという目的があれば違ったやり方が得策と気付くはずです。
縦に見てそれぞれが等差数列で、公差は初項の２倍。また、１番上に横に並んでいるそれぞれの初項は、公比が５の等比数列になっている、とここまで見抜ければ解けたも同然です。

ただし公差も出来上がった数も下４桁だけなので、そこは柔軟に対応しましょう。繰り返しが発生するので大きくみれば群数列ということになります。

以上を踏まえて問題を解いてみましょう。

（１）
縦に見れば等差数列でその公差は初項の２倍です。ただし下４桁だけ。以上から
ア＝６８７５＋６２５×２＝８１２５…（答）
イ＝８１２５＋１２５０＝９３７５…（答）
ウ＝４３７５＋３１２５×２＝１０６２５→６２５…（答）
エ＝６２５＋６２５０＝６８７５…（答）
オ＝６８７５＋６２５０＝１３１２５→３１２５…（答）
カ＝３１２５＋６２５０＝９３７５…（答）

（２）
分母が６４のところがどのような数列になっているかを考えます。
初項が５６２５
公差は５６２５×２＝１１２５０より１２５０
また、１２５０×８＝１００００なので８個周期で同じ数字が並ぶことがわかります。
５６２５＋１２５０×３＝９３７５
５０００÷１２５０＝４
３＋４＝７
７×２＋１＝１５
より最初が１５，以降は
２×８＝１６
ずつ増えるので
１５＋１６＝３１，３１＋１６＝４７，４７＋１６＝６３
分子は６３以下なので
（答）１５，３１，４７，６３

（３）
横に見て等比数列（ただし下４桁）はどこも同じです。
分子が９のところを横に見ると以下の数列になっています。
５６２５，８１２５，６２５，…
６２５から先は分子が１のところを見れば良いので、６２５の次からは
３１２５，５６２５，…
５６２５と同じ数字が出てきたので４個周期ということがわかります。
６２５が最初にでてきたときの分母が６４なので、次は
６４×２×２×２×２=１０２４
（答）６４，１０２４

（４）
縦に見て２０４８のところの１番上を調べます。
２０４８は２を１１個掛け合わせた数なので６４（２を６個掛け合わせた数）の列より５個右になります。
４個周期なので６４のひとつ右と同じです。
それは５６２５の隣なので、分子が９のところを見ることによって８１２５ということがわかります。
公差は
８１２５×２＝６２５０
です。

８１２５＋６２５０＝１４３７５
なので、
６２５０×４＝２５０００
より
分子が
２×（１＋４）＋１＝１１
の時、９３７５になることがわかりました。
ここでも８個周期は変わらないのは
６２５００×８＝５００００
からも明らかでしょう。
小数で表した時の小数第一位の数字が１なので「う」は
２０４８÷１０＝２０４．８
より２０５以上の奇数ということになります。
１１以降は１６ずつ増えるので２０５以上で１６で割って１１余る最小の数が答です。
２０８＝１６×１３
なので、
２０８＋１１＝２１９…（答）

いかがでしたでしょうか。
１÷２０４８のような割り算を筆算でやるようなことは回避したいと思いますが、それが実現できる解法になっていたと思います。
皆さんが解くときは、ある程度の範囲まで表を完成させると全体像が見えてくると思います。