VOL.241数学から考える受験算数（７）不等式・2次方程式・三角比

2022/05/20

今まで６回にわたり「数学」についてみてきました。
「数学」の知識があると明らかに有利になることもありました。

ただ、そのために「数学」を本格的に学ぶべきというほどでもなく、そもそも「受験算数」と「数学」を明確に区別する必要もないようにも思います。
典型的な例が第１回で取り上げた「合同式」で、そもそも高校の数学でも習うことはないのですが、「受験算数」では「余りだけの計算」として普通にやっています。

ですから、特に「数学」ということは意識せず「頭の体操」のように捉えて楽しみながら取り組めばよいのではないでしょうか。

今回はまとめとして、今後も出題が予想される「数学」のテーマについて書きたいと思います。

◎不等式
ゆとり教育の頃は中学の「数学」からも消えた分野です。
これもまた「受験数学」では普通に扱われていますね。
頻出なのは「四捨五入の範囲」です。

〈例題１〉　
整数Ａを３倍してから十の位を四捨五入すると１００になりました。
Ａとして考えられる整数を全て求めてください。

〈解説〉
以下の不等式をたてることができます。
９５≦Ａ×３＜１０５
全体を３で割って
３１．６…≦Ａ＜３５
よってＡとして考えられるのは

（答）　３２，３３，３４

これより高級な「連立不等式」の出題もありますが、特に問題なく対応できている受験生がほとんどでしょう。

◎２次方程式
本質的に「２次方程式」はかなり難しいです。
何も教わらない人が自力で解けるようになるのはほぼ不可能と思えるほどです。
私は中学で習う「代数」は極端な話、「２次方程式」を解けるようにするためにやっていると感じています。
ですから、「受験算数」で本格的に「２次方程式」に取り組むのはナンセンスです。
ただし、実際に「２次」を扱う問題は良く出されますし、最低限のことはやっておかなければなりません。

やるべきことは平方数を覚えておくことです。
１桁×１桁の平方数は九九なので特に覚える必要はありません。
１１～２１位までは覚えておいた方が良いです。

１１×１１＝１２１
１２×１２＝１４４
１３×１３＝１６９
１４×１４＝１９６
１５×１５＝２２５
１６×１６＝２５６
１７×１７＝２８９
１８×１８＝３２４
１９×１９＝３６１
２０×２０＝４００
２１×２１＝４４１

これらは常識だとは思いますが、ここで大切なのは「逆」のイメージをつかんでおくことです。

「３６１」を見たら、「１９×１９だな」と反応できること、これが肝心です。
それが身につけば受験算数で出題される２次の問題に対応することができることでしょう。

◎三角比
大昔は中学の範囲だったと思いますが、今は数Ⅰの範囲ですね。
実はこの「三角比」そのものの問題が入試で出されています。
たしかコサインの定義を説明してそれを使って解くような問題だった気がします。

〈例題〉
直角三角形の一番長い辺を斜辺といいます。
ある直角三角形の一番短い辺の長さａを斜辺の長さｂで割ったら割り切れました。

また、その三角形の一番小さい角をＣ度とすると、Ｃは整数でした。
このときのＣをもとめてください。

〈解説〉
直観力を試す問題です。
ｓｉｎ３０°＝１／２
のことなのですが、小学生は３０°、６０°の直角三角形をしっかりやっているので、答はすぐにわかったと思います。

（答）　３０

他に答がないことをきちんと証明することが本当は難しいのですが、それは小学生の範囲を完全に越えているので、今回はパッとひらめくことが重要です。

以上、「数学」についてみてきました。

今後どのような問題が登場するかわかりませんが、指導者としては、「受験算数」が「数学」への橋渡しになることを意識してやっていくことが大切だと考えています。