VOL.235数学から考える受験算数

「１問全力投球」もある程度やった感があります。
もちろん、今後も継続していきたいと考えていますが、とりあえず今回から新しいシリーズを始めたいと思います。

何をやるか色々と悩んだのですが、「数学と算数」を結びつけるようなものに決めました。
タイトルは「数学から考える受験算数」です。

「算数」に「数学」を持ち込むことに否定的な指導者は多いと思います。
典型例は「方程式」ですね。

「方程式」の場合はデメリットがそこそこあるので私もおすすめはしていません。
以下、メリットとデメリットをメモしておきます。

・メリット
方程式を解く技術さえ身に付けておけば、式さえ立てることができればほとんどの問題を解くことができる。
これは膨大な量になる「〇〇算」のような解法を身に付ける必要が無くなることを意味する。

・デメリット
頻出分野である「食塩水の濃度」や「速さ」を方程式で解くと、計算が煩雑になる可能性が高い。
また、学校側が「方程式」を警戒して、「方程式外し」をしていることもあると聞く。
さらに、算数的解法を学ぶということはその解法を身に付けることも大切だが、そこに至るまでの考え方を学ぶことの方がより重要であると考えられる。
「思考力」が養われる機会がなくなるのは痛い。

というわけで、私も「数学」を学んで「算数」を「数学」で解く、ということを目指しているわけではありません。
「数学」で学ぶ内容を「算数」に生かすことができないか、ということを考えてみるといった企画だと思ってください。

今回とりあげるのは合同式（ｍｏｄ）です。
合同式とは簡単に言うと割り算の余りだけに着目した式のことです。
合同式ではある数で割った余りが等しければ、「≡」という記号であらわします。

例えば９と１３は両方とも４で割ったときの余りが１、と等しいので
９≡１３（ｍｏｄ４）　⇒「９合同１３モッド４」のように読みます。
「９，１３は４を法として合同である」と言い換えることもできます。

上に「法として合同」という表現がありましたが、「法」は割る数のことです。
ですから、「Ａ，ＢはＣを法として合同である」とは「ＡとＢをＣで割った時の余りが同じ」ということです。
これって、算数でやってますよね。
「余りだけで計算してＯＫ」ってやつです。

では合同式の威力をみてみましょう。

〈例題１〉
１３を１００回掛け合わせた数を６で割ったときの余りはいくつですか。

〈解説〉
１３≡１（ｍｏｄ６）
１は何回かけ合わせてもても１なので
（答）１
この問題は「あまりだけの計算」だと「１の１００乗」となり、「１」が求まります。

〈例題２〉
７を１２３回掛け合わせた数の一の位はいくつですか。

〈解説〉
一の位の数は１０で割った時の余りと同じです（割り切れるときは余り０とみなします）。
よって「法」を１０とした合同式で考えます。

７×７≡４９≡９（ｍｏｄ１０）
７×７×７≡３４３≡３（ｍｏｄ１０）
７×７×７×７≡２４０１≡１（ｍｏｄ１０）

４回掛け合わせると「１」になるので、４回、８回、１２回…１２０回掛け合わせた時点で１の位は「１」になります。
結局３回掛け合わせた時と同じなので、
（答）３

この問題は「算数」では規則性の感覚で解くことが多いと思います。
７，９，３，１，７，９，３，１，７，９，３，１，…
という数列の１２３番目の数字を求めるのと同じですね。

〈例題３〉
１２１×１２１×ｘ＝３２×ｙ＋１
を満たす１以上の整数ｘ、ｙの組はいくつもありますが、その中でｘが最小のときのｙを求めてください。

〈解説〉
１２１≡２５（ｍｏｄ３２）
なので
１２１×１２１≡２５×２５≡１７（ｍｏｄ３２）　⇒６２５を３２で割った余りは１７となります。
これを利用すれば
１２１×１２１×ｘ≡３２×ｙ＋１≡１（ｍｏｄ３２）
より
１７×ｘ≡１（ｍｏｄ３２）…①
両辺を２倍して
３４×ｘ≡２（ｍｏｄ３２）
３４＝３２＋２
なので
２×ｘ≡２（ｍｏｄ３２）…②

②の９倍から①を引くと
ｘ≡１７（ｍｏｄ３２）
となり最小のｘが１７とわかります。
１２１×１２１×１７＝３２×ｙ＋１
なので、あとは計算するだけですね。
ちょっと面倒ですがが頑張りましょう。

（１２１×１２１×１７－１）÷３２
＝（２４８８９７－１）÷３２
＝２４８８９６÷３２
＝７７７８　…（答）

実はこの〈例題３〉は、今年の大学入試共通テストで出題され意外と手強いと評判になっていた問題とほとんど同じなのでした。
合同式を使えば比較的簡単に答が出たように思います（実際は誘導がついていたので、そちらに乗るのがオーソドックスな解き方でした。）。

さて、以上のやり方を小学生ができるかどうかなのですが、（ｍｏｄ３２）を（３２で割ったときの余りだけの計算）のように置き換えてあげれば、十分活用できるように思います。

合同式の内容は小学生でも理解可能ですから、使えそうな時に挑戦してみるのも良いのではないでしょうか。
マスターすれば武器になりますよ！