VOL.234一問全力投球（１７）　栄光学園中

今週の「１問全力投球」は神奈川の名門校「栄光学園」です。
２０２２年度の１を取り上げます。
まずは問題を見てください。

今年度の「栄光学園」はかなりハードな内容でした。
普通に考えると半分取れれば御の字、大きく崩れてしまった受験生もいたのではないでしょうか。
かなりの受験生の躓きの原因がこの１にあったと推測されます。
やはり、出鼻をくじかれると辛いものがあります。
今回はたまにある１が手ごわい時の対策も考えながら解説を進めていきたいと思います。

〈解説〉

本校や「麻布」等で頻出の「指定された数を作るタイプ」の問題ですね。
問題によって「全てを調べる」か「的を絞って調べる」かのどちらかを選択する必要があります。
どちらにせよ「思考力」をみたいという学校側の意思が感じられます。

（１）まずは計算です。
足し算ですので帯分数にしてから計算すべきでしょう。
その後分母を５と７と９の最小公倍数である３１５にそろえれば間違えることはないでしょう。
（答）６  ２４８  ３１５  

（２）この問題は１つ作ればよいのがポイントです。
確実に  ９  ５  より小さくするには一番小さいものを書けばよいのですが、その後の計算が煩雑になります。
分母を大きくした後はなるべく計算が簡単になる分数の足し算にするのが得策でしょう。

まずは一番小さいものを書き、それに少し変更を加えて計算が簡単になりそうなものを作ります。
この発想がない場合は（３）は早めに切り上げ、（４）に進んだ方が良かったかもしれません。

最小…  １  ６  ＋  ２  ７  ＋  ３  ８  ＋  ４  ９  ＋  ５  １０  
簡単…  １  ６  ＋  ２  ７  ＋  ４  ８  ＋  ３  ９  ＋  ５  １０  

分母が８と９のところの分子を入れ替えただけですが、計算は格段に簡単になりました。特に、  １  ２   と   １  ３   を足すと   ５  ６   ですが、それと  １  ６   との相性が良く、
１＋  ２  ７  ＋  １  ２  ＝１  １１  １４  
と簡単に計算でき、これは  ９  ５  より小さいことから答として使えますね。
(例)　
  １  ６  ＋  ２  ７  ＋  ４  ８  ＋  ３  ９  ＋  ５  １０  
計算結果…１  １１  １４  

（３）上の計算が使えそうです。
「７」がネックになりそうなので分子側にもってくるとすると
  ７  ６  は１  １  ６  なので「７」と「１」を入れ替え
  ７  ６  ＋  ２  １  ＋  ４  ８  ＋  ３  ９  ＋  ５  １０  
計算結果…４．５
となり、かなり整数に近付きました。
「２」と「１」か「５」と「１０」を入れ替えれば整数になりますね。
（例１）
  １  ２  ＋  ７  ６  ＋  ４  ８  ＋  ３  ９  ＋  ５  １０  
計算結果…３

（例２）
  ２  １  ＋  １０  ５  ＋  ７  ６  ＋  ４  ８  ＋  ３  ９  
計算結果…６

（４）ここから掛け算になるのですが、これは類題を見たことがあります。
１～１０まで素因数分解しましょう。

素数の数をカウントすると
２　８個
３　４個
５　２個
７　１個
となっているので、理論上最小値は「７」となります。
あとはそのようなものが作れるかですが、結論から言うと作れます。
以下は解答例です。
（例）
  ３  １  ×  ５  ２  ×  ６  ４  ×  ７  ９  ×  ８  １０  
計算結果…７

（５）全部なので苦しいですが、頑張ってみます。
場合によっては見切りをはやくし、先に進んだ方が良かったかもしれません。
７は必ず分子に残るので、計算結果が７の何倍になるかという観点で調べていきます。
また、計算結果が最大となるのは下の式です。
  １０  ５  ×  ９  ４  ×  ８  ３  ×  ７  ２  ×  ６  １  ＝７×３６　　　
このことから、３６倍までを考慮すればよいことがわかります。
２・３・５は全て偶数個使われているので、それぞれ（４）の状態と比べて１つ分母側から分子側へ移れば４・９・２５（倍）になります。
２だけ２個移ったときの１６倍の可能性があり、４倍と９倍の組み合わせの３６倍は既に書きました。

最後は可能かどうかの確認です。
・１倍
 ３  １  ×  ５  ２  ×  ６  ４  ×  ７  ９  ×  ８  １０ 
計算結果…７

⇒７×１＝７
・４倍→「１倍」の（３，６）と（４，９）を入れ替える
⇒７×４＝２８
・９倍→「１倍」の（３）と（９）を入れ替える
⇒７×９＝６３
・１６倍→「１倍」の（３，５，６）と（４，９，１０）を入れ替える
⇒７×１６＝１１２
・２５倍→「１倍」の（３，６）と（９，１０）を入れ替える
⇒７×２５＝１７５
・３６倍→上記の最大値
⇒７×３６＝２５２
以上より
（答）７，２８，６３，１１２，１７５，２５２

いかがでしたでしょうか。
本問は（３）で沼にはまってしまうとなかなか抜け出ることができず、全部をダメにしてしまう可能性すらあったと思います。
１番は普通は点数を取りやすいことが多いですが、難問が配置されることもあります。

最初の問題だからこそ、見切りをはやくする「勇気」が必要と言えるでしょう。

また、本問は（３）に関しては「的を絞って調べる」姿勢が良く、（５）に関しては「全てを調べる」ような気持ちが必要でした。
その点からも一筋縄ではいかない入試問題だったと言えると思います。
とは言え、本ブログで普段から書いていることを実践してもらえれば、十分に対応可能だったのではないか、と金田は妙に納得しているのでありました。