VOL.232一問全力投球（１５）　広尾学園中

今週は共学の人気校「広尾学園」をとりあげます。
本校の特徴が良くあらわれている３を選びました。
まずは問題を見てください。

頻出の問題と言えますが、（３）が応用問題となっています。
その応用の加減がいかにも本校らしいと感じたので、ここで取り上げた次第です。

〈解説〉

（１）はやってみましょうという意図でしょうが、学習済みの受験生にとっては通い慣れた道のようなものだったでしょう。
《１２３》＝１２３＋１３２＋２１３＋２３１＋３１２＋３２１＝１３３２　…（答）

上の考え方で問題ないとは思いますが、やはり計算で求められるようなやり方も押さえておきましょう。

３つのものの並べ方は順列で大丈夫なので
３×２×１＝６（通り）

使っている数字の数、それぞれの桁（百の位・十の位・一の位）の数字の数は
３×６＝１８，１８÷３＝６
「１」「２」「３」の平均は
（１＋２＋３）÷３＝２
以上より
（２×１００＋２×１０＋２×１）×６
＝１２×１１１
＝１３３２
ポイントは「１」「２」「３」が同じ回数だけ使われるということですね。
この時点で公式化が可能です。

Ｎが３桁の場合の《Ｎ》
①Ｎが１種類の数字からなる場合（ｍｍｍ）
《Ｎ》＝Ｎ　
②Ｎが２種類の数字からなる場合（ｍｍｎ）
《Ｎ》＝（ｍ×２＋ｎ）÷３×１１１×３
③Ｎが２種類の数字からなる場合（ｍｎｏ）
《Ｎ》＝（ｍ＋ｎ＋ｏ）÷３×１１１×６

②、③の式の意味は、３数の平均に桁の意味する数字をかけ、作れる個数をかけたものです。

（２）Ｎが３桁であることは明白です。ですから上の公式の①か②か③なのですが、それぞれ検討します。

ⅰ）①の場合
Ｎ＝７７７　…１通り　
です。

ⅱ）②の場合
（ｍ×２＋ｎ）×１１１＝７７７　
なので
ｍ×２＋ｎ＝７

（ｍ，ｍ，ｎ）→
（１，１，５）　…３通り（１１５，１５１，５１１）　
（２，２，３）　…３通り（２２１，２３２，３２２）
（３，３，１）　…３通り（３３１，３１３，１３３）

ⅲ）③の場合
（ｍ＋ｎ＋ｏ）×１１１×２＝７７７
ｍ＋ｎ＋ｏ＝７７７÷２
となり、ｍ，ｎ，ｏはどれも１桁の整数なので、③の場合はないことがわかります。
以上の検討により
１＋３×３＝１０（個）

（３）ここまでくると、③の場合がありそうだなという予想が立ちます。
Ｎが４桁ではないことがすぐわかるので、こちらもＮが３桁として検討します。

ⅰ）①の場合
なし

ⅱ）②の場合
（ｍ×２＋ｎ）×１１１＝１３３２　
なので
ｍ×２＋ｎ＝１２

（ｍ，ｍ，ｎ）→
（２，２，８）　…３通り（２２８，２８２，８２２）　
（３，３，６）　…３通り（３３６，３６３，６３３）
（５，５，２）　…３通り（５５２，５２５，２５５）

ⅲ）③の場合
（ｍ＋ｎ＋ｏ）×１１１×２＝１３３２
ｍ＋ｎ＋ｏ＝６
（ｍ，ｎ，ｏ）→（１，２，３）　…６通り→（１）で確認済
以上の検討により
３×３＋６＝１５（個）　…（答）

最後は（１）がヒントになっているというオマケ付きでした。とても親切な設問ですね。
このように「解いてくださいね」という親心のようなものが感じられる入試問題も沢山あります。

頻出なのですが、ほんの少しひねってあるのが本校の特徴であり、そこが越えなければならない壁であると言えます。

本問の場合は使う文字の種類が１～３まであり、そのあたりのことが問われていました。

しかし、例と（１）で１～３種類までのすべてに触れることができるので、（２）、（３）ではそれを生かせるかどうかで明暗が分かれたといえましょう。
受験生の皆さんにおいては、このような中学・高校の先生の期待に応えるべく、しっかりと準備して受験に臨めるよう頑張りましょう。