VOL.227１問全力投球（１０）　開成中

2022/02/04

今は情報化社会ですからスピードが大切だと思います。
今回、試験実施日２月１日の問題を取り上げるのも必然の流れなのかもしれません。
ということで、今年の開成中学３を取り上げたいと思います。

早速、問題をみてください。

さて、このブログでも「場合の数」は厄介な分野であると再三訴えてきましたが、本問の場合はどうだったのでしょうか。

結論から言うと、できれば完答したい問題だったと思います。

そのあたりを踏まえて解説していきます。

〈解説〉

（１）「黒くぬりつぶすマス目は上下左右が隣り合わない」というのが、かなりきついしばりなので考えやすかったと思います。
縦方向のＡとＢを交互にすれば横の１～７は全て埋められますから
７か所・・・（答）
Ａ始まりとＢ始まりがあるので
２種類・・・（答）

（２）

（ア）５か所ぬりつぶすので１～７番のうちの５か所がぬられるわけです。つながっている部分に関しては２通りのぬり方があることを押さえておけば大丈夫です。
２番と４～７番の１かたまりがそれぞれ２通りずつあるので全部で
２×２＝４（種類）
あります。
それを踏まえて解答欄に書き込みます。
（答）

（イ）３列目と５列目をぬりつぶさないと３つにわかれるので
２×２×２＝８（種類）

（ウ）まずはここが最初の山場です。
今までの誘導から場合分けするのはほぼ必然でしょう。
５個のものをいくつかに分けるのは仕切りを入れる例のやつでいけますから、見通しが立ったことでしょう。
かたまりごとに２通りずつあることに注意してそれぞれ求めていきます。

i)１かたまり
仕切りが左端に２個くっついている場合を（左端２）とあらわすことにすると、
（左端２）、（左端１，右端１），（右端２）の３通りあるので
１×３×２＝６（種類）

ii)２かたまり
５個を２つに分けるのは仕切りの入れ方を考えれば４通りです。
仕切りが（左端１，内側１），（内側２），（内側１，右端１）の３通りあるので
４×３×２×２＝４８（種類）

iii)３かたまり
５個を３つに分けるのは４つの中から２つを選ぶ組み合わせなので
４×３÷（２×１）＝６（種類）
です。
それぞれのかたまりごとに２通りずつあることから
６×２×２×２＝４８（種類）
以上をまとめて
６＋４８＋４８＝１０２（種類）…（答）

（３）ここまできたらほぼ作業だけですね。
１マスもぬりつぶさないものに注意が必要なはずなのですが、解答欄の個数が６個しかないという親切仕様でした。
（ア）の答えは

ここで決めに行きましょう。
前の結果を利用するタイプなので表に整理します。
一つずつ付け足していくのですが、最後で分類します。
ぬりつぶし「無し」か「有り」ですが、「有り」は上と下があるので最初は２通りあります。
その先は前が上なら後ろは下という具合で一つに決まります。
・「無し」→前の「計」
・「有り」→前の「無し」×２＋前の「有り」