VOL.149【ご質問フォーム】　－商と余り－

【ご質問フォーム】より解説の依頼がありましたのでお答えしたいと思います。

＜問題＞

３で割ると割り切れ、９で割ると余りが出る整数があります。
この整数を３で割った商と９で割った商と余りを全部足すと１００になります。
この整数はいくつですか？すべて答えなさい。

＜解説＞

「商と余り」がテーマの問題です。
「倍数」や「公倍数」がきちんと理解できていないと、正解するのが難しいでしょう。
解法はいくつも考えられますし、こういった数の性質の問題は数学で解くことも可能なので、小学生が理解しにくい解説がされている可能性があります。
なるべく「算数」らしく、しかも「かっこ良く」解きたいと思います。
まずは当たり前のことから確認していきましょう。
〈図１〉の数直線は３の倍数をあらわし、そのうち９の倍数は「○」をつけています。

３の倍数の３個に１個は９の倍数であることが分かります。
また、９の倍数ではあるが、３の倍数ではないような数はありません。
このことをベン図であらわすと〈図２〉のようになります。
ここまで理解できていると、「この整数」は２パターン考えられることがわかります。
①９で割って３余る数（９の倍数＋３）
②９で割って６余る数（９の倍数－３）
これを図にあらわすと〈図３〉、〈図４〉のようになります。

①が〈図３〉で②が〈図４〉です。
ここで①、②とちょうど割り切れる数（図中のＭ，Ｎ）の「３で割った商と９で割った商と余り全部の和」（以下「商と余りの和」と呼ぶことにします。）の差を調べます。

①について
３÷３＝１　・・・商
あまりは３なので、Ｍの「商と余りの和」は①よりも
１＋３＝４
大きい。

②について
９÷９＝１　・・・商
３÷３＝１　・・・商
あまりは６なので、Ｎの「商と余りの和」は②よりも
６－（１＋１）＝４
大きい。

以上より、Ｍ＝Ｎであり、その「商と余りの和」は
１００－４＝９６
であることがわかります。
９の「商と余りの和」は
９÷３＝３、９÷９＝１、３＋１＝４
なので、ｎは
９×  ９６  ４  ＝２１６
となり、答は
２１６－３＝２１３　・・・（答）
２１６＋３＝２１９　・・・（答）

＜確かめ＞

２１３÷３＝７１
２１３÷９＝２３　・・・６
７１＋２３＋６＝１００
２１９÷３＝７３
２１９÷９＝２４…３
７３＋２４＋３＝１００

＜別解＞

この整数を９で割ったときの商をａとします。
あまりとして考えられるのが３と６なので、場合分けします。

i) 余りが３の場合
３で割ったときの商は
９÷３＝３
より
３×ａ
よって次の式が成り立ちます。
ａ＋３×ａ＋３÷３＋３＝１００
ａ＝２４
よって
９×２４＋３＝２１９

ii) 余りが６の場合
同様に
ａ＋３×ａ＋６÷３＋６＝１００
ａ＝２３
よって
９×２３＋６＝２１３

いかがでしたでしょうか。
これからも質問をお待ちしています。
どうぞよろしくお願い致します。