VOL.111【場合の数攻略】　－場合分け－

2019/05/24

入試問題は選抜の意味があります。
あまりにも簡単な問題だと差がつきませんから、難関校ではある程度難問が出題されるのは仕方ないことだと思います。

ところが、あまりにも難しいと誰もできないという現象が起こります。
これも差がつきませんから、選抜試験という意味ではあまりよろしくないわけです。

算数で差をつけようと狙っていた受験生にとっては、「簡単」と「度を超えて難しい」の両方が鬼門となります。
特に「難しい」場合、「できなかった」というマイナスの感情が残りますから、その後の出来に影響する可能性もあり、かなりの苦戦が強いられます。

このあたりは学校側に考慮してもらうしかありませんが、受験生側も四教科まんべんなく実力をつけておく必要はあるでしょう。
特に試験当日は反省してはいけません。
終わったことは忘れ、目の前の問題に集中するようにしましょう。

「場合の数」は難問が出題されやすい分野です。
なぜ難しくなるのかで分類してみます。

①数え上げれば良いがその数が多い、又は見落としやすいものがある

②数えるにしては数が多すぎるし、普通の計算ではうまくいかない

③条件が複雑でそもそも数えることが困難

他にもいろいろあるでしょうが、いずれにせよ単純に数えることを封じられたときに「難問」と化すように思います。

そこで今回のテーマですが、きちんとした数え上げを実現するための武器となる「場合分け」をやりたいと思います。
計算で解くにしても「場合分け」が必要なケースは多いです。

前回取り上げた「フィボナッチ数列」を使って解く問題の典型的なものに「階段」があることは常識になっていると思いますが、次のような出題のされ方の場合はどのようにして解くでしょうか。

＜問題＞
７段の階段があり、１番下から７段目まで上ることを考えます。
１段ずつ上るか、１つ飛ばしで上るかの２通りの上り方があるとき、以下の問いに答えてください。

（１）１つ飛ばしを１回行うとき、何通りの上り方がありますか。

（２）１つ飛ばしを２回行うとき、何通りの上り方がありますか。

（３）全部で何通りの上り方がありますか。

＜答＞（１）６通り　（２）１０通り　（３）２１通り

＜解説＞
フィボナッチ数列を利用する解法ならば（３）は
１＋２＝３
２＋３＝５
３＋５＝８
５＋８＝１３
８＋１３＝２１（通り）
と求められます。
しかし、（１）（２）は別の考え方が必要です。

（１）一つ飛ばし１個と１段ずつ５個の並べ方とみれば６通りとすぐに見抜けます。

（２）一つ飛ばし２個と１段ずつ３個の並べ方は５個の中から２個を選ぶ組み合わせなので
５×４２×１＝１０（通り）

（３）（１）（２）以外は
i）一つ飛ばし３回→３個と１個の並べ方なので４通り
ii）一つ飛ばし０回→１通り
よって全部で
６＋１０＋４＋１＝２１（通り）

以上見てきたように「階段」は「場合分け」をして解くのも有力だったことがわかります。
上の問題の場合は「場合分け」することによって「組み合わせ」の公式が使えるようになりました。
このように、「場合分け」することによって公式が使えるようになることは「色ぬり」などでもよくあるので、いつも意識するようにしてください。

次に「場合分け」によって数えやすくなるケースを見てみます。

＜問題＞
〈図１〉のように３×３のマスがあります。
このうち２つのマスを黒く塗るとすると、その塗り方は何通りありますか。
ただし回転して重なるものは１通りとして数えます。