VOL.107【図形に強くなる】　－立体の公式－

今回は「立体図形の公式」をまとめてみたいと思います。

「公式」は本の裏表紙に当たり前のように書かれているので、軽視される傾向にある気がします。
ですが、「なぜそうなるのか」を突き詰めていくと結構面白く、「考える力」の養成にもなるので、今回取り上げました。

また、「立体図形の公式」を扱うためには「平面図形の公式」が全て頭に入っている必要があります。
忘れていないかどうか各自確認してみてください。

実は扱える「立体図形」は「柱体」と「すい体」だけなので、それぞれについて公式を紹介し、なぜそれで求められるか等を考えてみます。

①柱体

（表面積）

表面積＝底面積×２＋側面積＝底面積×２＋底面の周×高さ

とくに

円柱の表面積＝底面の半径×底面の半径×円周率×２＋底面の直径×円周率×高さ＝（底面の半径＋高さ）×底面の直径×円周率　…（Ａ）

「柱体」は「ふた」と「底」が合同ですから、底面積×２は納得でしょう。
また、側面を展開すると長方形になりますから、その面積は「長方形」の「たて×よこ」で求められます。
「たて」はその「柱体」の「高さ」に等しく、「よこ」は「底面の周」に等しいので、上のような式になります。

円柱の表面積は計算をすっきりさせるために（Ａ）のように「□×円周率」の形にしておくと良いと思います。

ここで出来上がった（Ａ）の意味について考えてみましょう。

「底面の直径×円周率」は円周になるので、式の意味は「円周×底面の半径」と「円周×高さ」の和ということになります。

「円周×高さ」が「側面積」を意味することは明らかですが、「円周×底面の半径」の意味するものは何でしょうか。

ＶＯＬ．１０４の「今週の１題」の冒頭に答がありまして、結論は「円」２個分で、納得のいく式ということになりました。
（体積）
　体積＝底面積×高さ
ここで、そもそも「体積」とは何か考えてみます。

辞書を引くと「立体が占める空間の大きさ」のように書いてありますが、「立体の大きさ」と捕らえておけば問題はないでしょう。

実はこの「体積」の値というものは「比」です。
たとえば「１００ｃｍ^３」というのは
「１辺が１ｃｍの立方体の１００倍の大きさ、比で言えば「１００：１」
ということです。

そうすると「底面積」は「１辺が１ｃｍの正方形の何倍か」という意味であり、高さは「１ｃｍの何倍か」ということをやっているわけです。

そして「１ｃｍ」というのは元々
「地球の北極から赤道までの子午線の長さの１０００万分の１（１ｍ）の１００分の１」
ですから、知らず知らすのうちに地球とサイズ比べをしていたのですね。
※現在の「１ｍの定義」は「１秒の２９９，７９２，４５８　分の１の時間に光が真空中を伝わる距離」となっています。

②角すい

（表面積）

表面積＝底面積＋側面積＝底面の多角形の面積＋側面の全ての三角形の面積

これを見ると、求めることができるケースがかなり限定されることがわかります。
底面は三角形か四角形であることが普通で、さらに三角形のときは直方体から切り出すようなケースがほとんどでしょう。
切り出したケースでは切り口の面積が厄介です。
大抵の場合一筋縄ではいきません。
最も難しいと思われるレベルがＶＯＬ．９２の「今週の１題」にありますので参考にして下さい。

（体積）
　体積＝底面積×高さ× １ ３ 

公式自体は特に難しいことはありませんが、なぜ「 １ ３  倍」するのかを考えたことのある人はあまりいないでしょう。

小学生でも「 １ ３  倍」になりそうなことが理解できる形があるので紹介します。

１辺が６ｃｍの立方体を考えます。
この立方体の中心と各頂点を直線で結ぶと６個の合同な四角すいに分割されます。
この四角すい１個の体積は
６×６×６÷６＝３６（ｃｍ^３）
です。
またこの四角すいと底面積と高さが等しい四角柱の体積は
６×６×６÷２＝１０８（ｃｍ^３）
ですから、確かに １ ３  倍になっていますね。

③円すい

（側面の展開図のおうぎ形の中心角）

中心角＝３６０°×  底面の半径 母線  

（側面積）

側面積＝母線×底面の半径×円周率

（表面積）

表面積＝底面積＋側面積＝底面の半径×底面の半径×円周率＋母線×底面の半径×円周率＝（母線＋底面の半径）×底面の半径×円周率　…（Ｂ）

（体積）

体積＝底面積×高さ× １ ３ ＝底面の半径×底面の半径×円周率×高さ× １ ３ 

円すいは公式の数が多いです。
いっぺんに紹介しましたが大丈夫でしたか？

まず、「中心角」の公式ですが、これは「割合」や「速さ」の公式と同じく、「母線」「半径」「中心角」の３つのうち２つがわかれば残り１つは求められることを示しています。

「側面積」の公式はかなり重要で、「おうぎ形」の面積の公式である
「半径（母線）×半径（母線）×円周率× 中心角 ３６０°  」
は極力使わないようにしてください。

「表面積」に関しては上の最終形のようにしておくのが良いように思います。
今回特に注目したいのは「円柱の表面積」である（Ａ）と（Ｂ）の関係です。
式からも明らかなように（Ａ）は（Ｂ）の２倍になっています。

まとめると〈図１〉のようになります。

円柱と円すいがあり、表面積に関しては
「底面の半径が等しく、円柱の高さと円すいの母線の長さが等しければ、その表面積の比は２：１になる」
ということです。

また、体積に関しては
「底面の半径が等しく、高さも等しければ、その体積の比は３：１になる」
というおなじみの結論です。

「立体図形の代表的な公式」を紹介しましたが、新たな発見はあったでしょうか。
これを機会に基本の確認をしてもらえれば幸いです。

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