VOL.100連載１００回記念！　－「１００」の性質－

祝１００回！
ここまで来ることができたのも皆様のおかげです。
これからも頑張っていきますので、よろしくお願いいたします。

せっかくですから今回は「１００」の性質について問題形式で見ていきたいと思います。

【平方数の和】

１００は平方数ですが、異なる２つの平方数で表すこともできます。
＜問題＞
１００＝Ａ×Ａ＋Ｂ×Ｂ　（Ａ＜Ｂ）
ＡとＢはともに整数です。ＡとＢそれぞれ求めてください。
（答）
Ａ＝６、Ｂ＝８
（解説）
皆さんは「ピタゴラスの定理」をご存知でしょうか。
中学の数学で習うのですが、小学生も知っておいた方が良い「定理」だと思います。

そもそも「定理」とは何かという話からしなければいけませんね。
実はそれを説明するには「公理」と「定義」という言葉も理解しなければなりません。

まず「公理」からいきましょう。
前提となる基本的な仮定と言えばわかっていただけるでしょうか。
例えば、２つの点が与えられたとき、その２点を通る直線を引くことができる、というようなものがあります。
小学生の場合は「理由なく正しいこと」という認識で良いと思います。

次に「定義」です。
簡単に言うと、その用語の意味を明確に述べたものが「定義」です。
例えば、三角形の定義は「三つの直線で囲まれた図形」です。

そして、「定理」とは、「公理」と「定義」から導かれる事柄です。
厳密には問題があるかもしれませんが、とりあえず感じはつかんでいただけたでしょうか。

※「ピタゴラスの定理」

直角三角形の斜辺の長さをｃ、他の２辺の長さをａ、ｂとすると
ｃ×ｃ＝ａ×ａ＋ｂ×ｂ
が成り立つ。
このことは直角三角形の３辺のうち２辺がわかれば、残りの１辺は計算で求められることを意味しています。
また、ａ、ｂ、ｃが全て自然数の組を「ピタゴラス数」といいます。
実は
１００＝１０×１０
なので、（６、８、１０）はピタゴラス数です。

【立方数の和】

立方数とは同じ数を３回かけ合わせてできた数です。
＜問題＞
１００＝Ａ×Ａ×Ａ＋Ｂ×Ｂ×Ｂ＋Ｃ×Ｃ×Ｃ＋Ｄ×Ｄ×Ｄ　（Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ）
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄはどれも整数です。Ａ～Ｄを求めてください。
（答）
Ａ＝１、Ｂ＝２、Ｃ＝３、Ｄ＝４
（解説）
一見難しい問題のように見えますが、すごく簡単に解決します。
５×５×５＝１２５
なので、ＡからＤが１、２、３、４、に決まります。
実際に確かめてみると正解であることがわかります。

【立方と平方の差】

これはすぐにピンとくるかもしれません。
＜問題＞
１００＝Ａ×Ａ×Ａ－Ａ×Ａ
Ａが整数だとすると、Ａはいくつですか。
（答）
Ａ＝５
（解説）
上に５×５×５がでてきましたが、
５×５＝２５
ですから、Ａ＝５とすぐにわかります。

まともに解くならば
Ａ×Ａ×Ａ－Ａ×Ａ＝Ａ×Ａ×（Ａ－１）
と変形することができます。
また
１００＝５×５×４
なので、
Ａ＝５
であることがわかります。

【素数の和】

１００を素数の和であらわすことを考えます。
＜問題＞①１００を９個の連続する素数の和であらわしてください。②１００を２個の素数の和であらわす方法は６通りあります。
すべて求めてください。（答）①２＋３＋５＋７＋１１＋１３＋１７＋１９＋２３②３＋９７、１１＋８９、１７＋８３、２９＋７１、４１＋５９、４７＋５３（解説）
素数を書き出します。
２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、
２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、
６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７①小さいほうから順番に９個を足すと「１００」になるので
１００＝２＋３＋５＋７＋１１＋１３＋１７＋１９＋２３②小さいほうから順番にペアにして１００になるものを探します。
１００＝３＋９７＝１１＋８９＝１７＋８３＝２９＋７１＝４１＋５９＝４７＋５３
結構たくさんあるんですね。

楽しんでいただけたでしょうか。次はまずは２００回を目標にしていきたいと思います。

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