VOL.72【ミニ講座】（９）作図の手順　（１０）２１ゲーム

今回も内容が盛りだくさんです。
「ミニ講座」は書くのが楽しいのでどんどんボリュームが増えていきます。
秋以降も続けたいなぁ、なんて考え始めています。
皆様のご意見をお待ちしています。

◎【ミニ講座】（９）　作図の手順
「図形の移動」の問題は「作図」が肝心です。
特に何かが「ころがる」ようなケースでは、「作図」がキチンとできれば解けたも同然ですが、そうでない場合は苦戦が予想されます。
そこで、今回は「作図の手順」について説明したいと思います。
生徒が「作図」をしているのを見ていていつも思うのは、「色々なことをいっぺんにやろうとして無理が生じている」ということです。
複数のことを一緒にやろうとしてもうまくいかないことの方が多いです。
やはり、正しい手順で無理なく進めるようにしなければいけません。

直線上を長方形がころがり、頂点が動いた距離を求める問題を例に、作図の手順を説明します。
尚、作図の様子は下の〈図１〉に示しました。
基本的に作図の工程は３つに分けます。
①着地した様子を描く直線と長方形が接している様子を描きます。
通常は１個目と５個目が同じ向きになるので、最初の長方形を除くと４個の長方形を描くことになります。②求める頂点がそれぞれの長方形のどこにくるのかを確認しナンバーをふる頂点Ａが動いた距離を求めるのなら、とりあえず頂点Ａだけを追いかけます。
私の場合、最初をＡ0とし、以下Ａ1、Ａ2、Ａ3…とナンバーをふっていきます。
③求める頂点の軌道を描くここが一番肝心なところです。
①と②は③のための準備だったとも言えます。
いっぺんにやろうとして失敗するというのは①、②をすっ飛ばしていきなり③をやろうとして失敗するということです。

この軌道は円周の一部となることが多いので、その場合は以下の３つを意識して作図していきます。

1. 中心
2. 半径
3. 中心角

慣れないうちは中心を丸で囲んでしっかり意識するようにします。
半径と中心角は計算の際必要となる数字になるので、見にくくならないよう図の中に書き入れておきましょう。

ここまで手順にそってやっていけば、正解できる可能性は相当高いと思います。
無理のない手順で作図する方法を身につけてください。
ここで気をつけて欲しいのは「できる限り正確な作図をこころがける」ということです。
よくあるのが「円」がつぶれてしまうことです。それを防ぐにはどうしたらよいかを書きます。
「円」を描くのは結構難しいです。
白紙に描くのは特に大変ですよね。
そこで「ガイド」を先に描いてあげます。
この「ガイド」は「円」に内接するものなら何でも良いのですが、おすすめは「正六角形」です。
また「半円」に限るならそれは「正三角形３個分」になりますからそれを利用しても良いです。
ではその「ガイド」を含めて、次の問題の作図の手順をごらんください。

＜問題＞
〈図２〉の１辺の長さが６ｃｍの正三角形Ｐのまわりを、１辺の長さが３ｃｍの正三角形Ｑがすべらないようにころがって正三角形Pのまわりを１周するとき、頂点Ａが動く距離を求めてください。
ただし円周率は３．１４とします。

（式）３×２×３．１４× １２０×２＋２４０×２３６０ ＝３７．６８
（答）３７．６８ｃｍ

以上、「作図の手順」でした。

◎【ミニ講座】（１０）２１ゲーム
昔、友人から「２１ゲームやろう」と誘われました。
何のことやらわかりませんでしたが、「いいよ」と答え、ゲームが始まりました。
ルールは簡単で１から順番に数字を言っていき２１と言ったら負けという簡単なものでした。
一度に言える数字は１個から３個でパスはできないということでした。
以下その時の模様を再現（記憶があいまいですが）します。

友人： では最初は僕から「１」
金田： （よくわからないがとりあえず）「２」　←この時点で負けが決定！
友人： （間髪入れずに）「３、４」
金田： 「５、６、７」
友人： 「８」
金田： （自信満々の友人の顔を見て、どうやら負けになっていると悟る）
以後、
金田： 「９、１０」
友人： 「１１、１２」
金田： 「１３」
友人： 「１４、１５、１６」
金田： 「１７」
友人： 「１８、１９、２０」
金田： 「２１」　←負け！

金田： 負けました。もう一回やろう！
友人： いいよ。ではさっきは僕が先だったから、今度は君が先でいいよ。
金田： ありがとう。「１」
友人： 「２、３、４」
金田： （ここで長考に沈む。実は少し進んでから考えれば何とかなると思っていたのだが、その考えが甘かったことに気づく。結局…）
負けました（涙）

以下、私の考えた内容です。
「２１」を相手に言わせれば良いので、自分が「２０」を言えば良いことになります。
ということはその前の段階で「１６」を言えば相手が１個でも２個でも３個でも自分の個数を調整して「２０」にすることが可能です。
だからこのゲームの必勝法は「１６」を言うことであると考えました。
ここまでが見えたので、再度勝負を挑んだのですが、まだ先がありました。
当たり前ですが、「１６」を言う前の段階で「１２」を言えば、必ず「１６」を言えます。
そしてその前は「８」さらにその前は「４」となり、これは後手必勝を意味します。
ここまでを理解して友人の巧妙な手口に気がつきました。
最初は必勝のはずの後手を相手に譲ります。
しかし、一瞬で必勝法までたどりつくことはほぼありませんから、「４」を逃した時点で負けが確定します。
２回目は後手なので必勝です。

仮にその後も勝ち続けたければ「２９」ゲームにしたり、一度に４つまで数字が言えるようにルールを変えれば大抵の人はすぐには対応できないでしょう。
まんまとやられた苦い思い出です。
では少し算数的にこのゲームを考えてみましょう。

実は入試問題でも出題例があります。
まず、２人で合計何個の数字を言えるかというと、
（１個、１個）の２個から（３個、３個）の６個までです。
この中で後手が必ず言うことができる個数は４個だけです。
（１＋３＝４，２＋２＝４，３＋１＝４）
次に最終的にいくつを言えば勝てるかというと
２１－１＝２０
で、これは４で割り切れる数です。
ですから先に「４」を言ったほうが勝ちとなり、結論は「後手必勝」となります。

では「２２ゲーム」ならどうかというと、
２２－１＝２１
なので、これは４で割ると１余る数です。
なので「１」を言ったほうが勝ち、すなわち「先手必勝」となります。

数字がランダムな場合、先手必勝の確率のほうが高いです。
また一度に言える数字が多くなると先手必勝になる確率がさらに上がります。
整理します。
Ｎゲーム（Ｎを言ったら負け）
一度にＡ個まで言えるとすると、
（Ｎ－１）を（Ａ＋１）で割ったときのあまりを調べる。
①割り切れれば「後手必勝」→（Ａ＋１）を確保し、以後（Ａ＋１）ずつ増やしていき（Ｎ－１）を言えば勝ち。②Ｂ余れば「先手必勝」→Ｂを確保し、以後（Ａ＋１）ずつ増やしていき（Ｎ－１）を言えば勝ち。

最後にこのゲームでの勝率を上げる方法を考えます。
普通にやっても最初の何回かは勝てるはずですが、勘の鋭い人は少なくとも自分がハメられていることには気づきます。
なので、相手にいかに勝てそうな感覚を持ってもらうかが腕の見せ所となります。
１度に言える個数は３個に固定するとして、相手に「２１」を好きな数字に変更してもらうのが現実的です。
その代わり「先手」か「後手」をこちらが選べば必勝です。
また、相手に先手を譲るかわりにこちらが数字を変えるのも手です。
「２９」や「３３」のような「４で割って１あまる数」を選べば「後手必勝」となります。
どちらにせよ、あまり大勝するとケンカになるかもしれませんから、ほどほどにしてくださいね。
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