VOL.2171問全力投球(3)

1問全力投球


今回の「1問全力投球」は「渋谷教育学園幕張」の2021年度一次を取り上げます。
問題を見てみましょう。

「立体の切断」の問題です。
本校ではが「立体切断枠」のようになっていますね。
ということで対策が必須です。

「立体の切断」は出題する学校とそうでない学校が割とはっきりしているので、出す学校を受けない場合は、厚い対策は不要だと思います。
立体切断は「柱体」と「すい体」に分類できます。
それぞれ公式があるので、しっかりと覚えておいてください。

最近の傾向としては「立方体」を複数の面で切るものが多かったイメージがありますが、本問は「すい体」の斜め切断でした。
「すい体」は「三角すい」が基本です。
「四角すい」以上は「三角すい」を組み合わせたものとみなします。

本問の場合、「斜め切断」は(3)でしたね。
(1)は「平面図形」、(2)も底面に平行な面で切るのでほぼ「平面図形」で片付きます。
それでは解説に入ります。

〈解説〉
(1)
ひし形は〈図1〉のように無条件で対角線を引いてかまいません。

〈図2〉は〈図1〉に四角形KLMNを書き加えたものです。
四角形KLMNは四角すいO-KLMNの底面なので、四角形KLMNの面積がひし形ABCDの何倍かがわかれば、答を求めることができます。

四角形KLMNは台形なので、ひし形ABCDとの面積比べを考えます。
四角形KLMNの上底と下底・高さが、ひし形ABCDの対角線(縦・横)のそれぞれ何倍かを求め、それを掛け合わせたものが面積の割合となります。

(  1  2  +  1  3  )×(  1  2  ×  1  2  +  1  2  ×  2  3  )=  35  72  ・・・①

高さの等しいすい体と柱体の体積比は柱体を1とすると
「すい体の底面積の割合×  1  3  」で求めることができるので

  35  72  ×  1  3  =  35  216  (倍)・・・(答)

(2)
四角すいを底面と平行な面で切っています。
高さの  1  2  のところで切っていますので、その切り口は底面と相似で相似比は2:1です。

面積比は
2×2:1×1=4:1
なので、①の  1  4  倍が答です。

  35  72  ×  1  4  =  35  288  (倍) …(答)

(3)
〈図3〉はBとD、FとHが重なって見える方向から見た図です。
「立体図形」はこのように平面的に捉えることが急所になります。
OKとPRの交点をSとすると、OS:SKを求めることが解決につながることがわかると思います。
ちなみに、図を見てわかるように、OLとPRはQで交わるのですが、これは対称性を考えれば明らかでしょう。

〈図4〉はOS:SKを求めるために「つの出し」を行ったものです。
EG=12
とすると
TE=CU=12
EO=2
KC=9
なので
OS:SK
=12+2:9+12
=2:3
であることがわかります。

ここで見取り図を〈図5〉で掲げておきます。

四角すいの体積比は、三角すいに分けて考える必要があります。
〈図6〉はONLの3点を通る平面で四角すいO-KLMNを2つの三角すいに切り分けたものです。

三角形KLNと三角形LMNの面積比は台形KLMNのKNとLMの比に等しいので3:2であることがわかります。

三角すいの体積の割合はOから伸びている3つの辺の割合の積に等しいです(これは基本中の基本なので必ず身に着けておいてください)。
よって求める答は

  3  5  ×  2  5  ×  2  5  ×  1  2  +  2  5  ×  2  5  ×  1  2  ×  1  2  
=  11  125  (倍)  …(答)

以上見てきたように、基本の積み重ねできっちりと答を出すことができます。
そして、「立体図形攻略」に必要なことを教えてくれました。

1.平面図形の力

2.作図力

3.立体のままではなく平面的に捉える

4.「比」、「分数」の利用

上記のような「力」をしっかりと身に着けていきましょう。
そうすれば「立体図形」が得意分野に変わるかもしれませんよ。

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プロフィール

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執筆

金田雅昭 講師
【名門会家庭教師センター】

受験算数指導のエキスパート講師、男女御三家や早慶附属中など難関校への合格実績多数。

合格実績

灘中、開成中、桜蔭中、慶應義塾中等部、女子学院中、麻布中、栄光学園中、聖光学院中 他

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